Die Stadt hat ungefähr 35.000 Einwohner. Der größte Teil der Bevölkerung lebt in den für die Mongolei typischen Jurtenvierteln hinter zwei Meter hohen Bretterzäunen, im Stadtzentrum gibt es auch einige vierstöckige Plattenbauten.
Touristisch hat die Stadt außer einer entspannten Atmosphäre sicher nicht allzuviel zu bieten. Die meisten Besucher kommen nur auf der Durchreise zum Huvsgul nuur hier vorbei. Allerdings bietet sich der Markt zum Aufstocken der Vorräte an, am Postamt kann man e-Mails verschicken oder nach Hause telefonieren, und es gibt auch einen Fotoladen, der innerhalb weniger Stunden ein paar Bilder aus der Digitalkamera ausdrucken kann. Wer sich nach einer warmen Dusche sehnt, kann in einem der Badehäuser vorbeischauen.
In Murun gibt es einige annehmbare Hotels und Hostels. Wenn man mit dem Auto unterwegs ist, kann man ersatzweise auch die wenige Kilometer südlich der Stadt und recht malerisch gelegenen Jurtencamps ansteuern.
Die Berge nördlich und südlich der Stadt bieten sich für kleine Tageswanderungen an. Die Berge nördlich der Stadt kann man sogar mit dem Taxi erreichen, wenn man die Rückfahrt mitbezahlt. Am Fluss gibt es einige hübsche Ecken für Picknicks und dergleichen, im Sommer kann man auch baden.
Der Vorläufer der Stadt war ein 1809 gegründetes Kloster, Murungiin Huree. Anfang des 20. Jahrhunderts beherbergte es ungefähr 1300 Lamas, und es hatte sich eine Siedlung um das Kloster gebildet. Murungiin Huree wurde 1938 im Zuge der antireligiösen Verfolgungen in der Mongolei zerstört und viele der Mönche umgebracht. 1990 wurde begonnen, am westlichen Stadtrand ein neues Koster aufzubauen.
1923 wurde Murun zu einem Kreiszentrum. In der Folge wurde eine moderne Schule, ein neuzeitliches Krankenhaus, und Verwaltungseinrichtungen gegründet. 1933 wurde Murun dann zum Verwaltungszentrum von ganz Huvsgul. 1956 hatte Murun ungefähr 3200 Einwohner, 1979 waren es schon 16.500. In der mongolischen Demokratischen Revolution von 1990 war Murun Schauplatz eines Hungerstreiks.
Das erste Kraftwerk in Murun wurde 1951 errichtet. Ein regelmäßiger Flugverkehr nach Ulaanbaatar besteht seit 1956. Telekommunikationseinrichtungen gibt es schon etwas länger: bereits vor 1921 lag Murun an der Telegraphenlinie von Irkutsk nach Uliastai. 1954 wurde ein direkte Drahtverbindung nach Ulaanbaatar gelegt. Seit 1998 gibt es in Murun außerdem eine Bodenstation für die Satellitenkommunikation.